Οι νόμοι της αλήθειας και της μισής αλήθειας

Στην ιστορία των μαθηματικών οι αρχαίοι Έλληνες κατέχουν ξεχωριστή θέση επειδή επινόησαν τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζονται τα σύγχρονα μαθηματικά: μέσω αξιωμάτων, αποδείξεων, θεωρημάτων, περισσότερων αποδείξεων, περισσότερων θεωρημάτων κ.ο.κ. Κατά τη δεκαετία του 1930, ωστόσο, ο Αυστροαμερικανός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ -φίλος του Αϊνστάιν-απέδειξε ότι αυτή η προσέγγιση είναι κάπως ανεπαρκής: οι περισσότερες μαθηματικές θεωρίες, όπως κατέδειξε, πρέπει είτε να είναι ασυνεπείς είτε να εμπεριέχουν αλήθειες που δεν μπορούν να αποδειχθούν.

Παρόλα αυτά, η πορεία των μαθηματικών συνεχίστηκε με αμείωτο ρυθμό σύμφωνα με το ελληνικό πρότυπο, το πρότυπο του Ευκλείδη. Οι Έλληνες, ιδιοφυείς γεωμέτρες, δημιούργησαν ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων, δηλαδή προτάσεων που θα πρέπει να γίνουν αποδεκτές χωρίς να έχουν αποδειχθεί, και βάσει αυτών προχώρησαν στην απόδειξη πολλών όμορφων θεωρημάτων που περιγράφουν λεπτομερώς τις ιδιότητες των ευθειών, των επιπέδων, των τριγώνων και άλλων γεωμετρικών σχημάτων. Με αυτές τις γνώσεις αντιλήφθηκαν, για παράδειγμα, ότι η Γη είναι σφαιρική και μάλιστα υπολόγισαν και την ακτίνα της.

Είναι σίγουρα αξιοπερίεργο γιατί ένας πολιτισμός που ήταν σε θέση να διατυπώσει ένα θεώρημα όπως η πρόταση υπ’ αριθμ. 29 του βιβλίου I των Στοιχείων του Ευκλείδη -«όταν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες, οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες, οι εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες, και οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες με το άθροισμα δύο ορθών γωνιών»- δεν δημιούργησε και μια θεωρία που να αποδεικνύει ότι αν ρίξουμε δυο ζάρια δεν είναι και τόσο συνετό να στοιχηματίσουμε την Κορβέτ μας στο ενδεχόμενο να φέρουν και τα δύο έξι.

Οι Έλληνες βέβαια όχι μόνο δεν είχαν Κορβέτ, δεν είχαν ούτε ζάρια. Ωστόσο, είχαν ροπή προς τα τυχερά παιχνίδια. Διέθεταν επίσης άφθονα κουφάρια ζώων, κι έτσι έριχναν «αστραγάλους» από διάφορα ζώα, δηλαδή μικρά οστά από τη φτέρνα του ζώου. Ο αστράγαλος έχει έξι έδρες, όμως μόνο οι τέσσερεις είναι αρκετά ευσταθείς ώστε να μπορεί να σταθεί το οστό σε μία από αυτές.

Σύγχρονοι ερευνητές επισημαίνουν ότι, λόγω της κατασκευής του οστού, η πιθανότητα να σταθεί σε καθεμία από τις τέσσερεις αυτές έδρες δεν είναι η ίδια: δύο από τις έδρες έχουν πιθανότητα περίπου 10% η καθεμιά και οι άλλες δύο έχουν πιθανότητα από 40%. Σ’ ένα συνηθισμένο παιχνίδι ρίχνονταν τέσσερεις αστράγαλοι. Το αποτέλεσμα που εθεωρείτο καλύτερο ήταν μεν σπάνιο, αλλά όχι το σπανιότερο: ήταν η περίπτωση όπου οι τέσσερεις αστράγαλοι στέκονταν σε διαφορετική έδρα ο καθένας. Ο συνδυασμός αυτός ονομαζόταν «βολή της Αφροδίτης» και είχε πιθανότητα περίπου 384 στις 10.000. Οι Έλληνες, ωστόσο, που δεν διέθεταν κάποια θεωρία της τυχαιότητας, δεν το γνώριζαν αυτό.

Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τους αστραγάλους και όταν έθεταν ερωτήσεις στα μαντεία τους. Από τα μαντεία οι ερωτώντες λάμβαναν απαντήσεις που υποτίθεται ότι ήταν τα λόγια των θεών. Πολλές σημαντικές επιλογές που έκαναν εξέχοντες Έλληνες βασίζονταν στις συμβουλές των μαντείων, όπως μαρτυρεί ο ιστορικός Ηρόδοτος, αλλά και συγγραφείς όπως ο Όμηρος, ο Αισχύλος και ο Σοφοκλής. Ωστόσο, παρά τη σημασία της ρίψης αστραγάλων τόσο στα τυχερά παιχνίδια όσο και στη θρησκεία, οι Έλληνες δεν κατέβαλαν καμία προσπάθεια να κατανοήσουν τις κανονικότητες που διέπουν αυτές τις ρίψεις.

Γιατί οι Έλληνες δεν ανέπτυξαν κάποια θεωρία πιθανοτήτων;

Μια εξήγηση είναι πως πολλοί Έλληνες πίστευαν ότι το μέλλον εκτυλίσσεται σύμφωνα με τη θεϊκή βούληση. Αν το αποτέλεσμα μιας ρίψης αστραγάλων σήμαινε «παντρέψου τη γεροδεμένη Σπαρτιάτισσα που σε έβαλε κάτω σ’ εκείνο τον αγώνα πάλης πίσω από το σχολείο», ο νεαρός Έλληνας δεν θα θεωρούσε το αποτέλεσμα της ρίψης το ευτυχές (ή ατυχές) προϊόν μιας τυχαίας διεργασίας· θα θεωρούσε ότι είναι η βούληση των θεών. Με δεδομένη μια τέτοια θεώρηση, η κατανόηση της τυχαιότητας δεν θα είχε νόημα. Κατά συνέπεια, η μαθηματική πρόβλεψή της θα φαινόταν αδύνατη.

Μια άλλη εξήγηση μπορεί να βρίσκεται στην ίδια τη φιλοσοφική αντίληψη που έκανε τους Έλληνες τόσο μεγάλους μαθηματικούς: είχαν εμμονή με την απόλυτη αλήθεια, η οποία αποδεικνύεται μέσω της λογικής και των αξιωμάτων, και αντιπαθούσαν τις αβέβαιες αποφάνσεις. Στον Φαίδωνα του Πλάτωνα, για παράδειγμα, ο Σιμμίας λέει στον Σωκράτη ότι «τα επιχειρήματα που βασίζονται σε πιθανολογίες είναι παραπλανητικά» και προλαμβάνει το έργο των Κάνεμαν και Τβέρσκυ επισημαίνοντας ότι «εάν δεν χρησιμοποιηθούν με ιδιαίτερη προσοχή, ενδέχεται να εξαπατήσουν - τόσο στη γεωμετρία όσο και σε άλλα».

Στον Θεαίτητο, ο Σωκράτης λέει ότι ο μαθηματικός που «επιχειρηματολογεί σε θέματα γεωμετρίας βασιζόμενος σε πιθανότητες και εικοτολογίες δεν αξίζει τίποτα». Ωστόσο, ακόμα και οι Έλληνες που πίστευαν ότι όσοι ασχολούνταν με τις πιθανότητες άξιζαν κάτι ενδεχομένως να δυσκολεύονταν να συγκροτήσουν μια συνεπή θεωρία εκείνη την εποχή, προτού δηλαδή καθιερωθεί η συστηματική τήρηση αρχείων, διότι οι άνθρωποι έχουν, ως γνωστόν, εξαιρετικά φτωχή μνήμη όταν προβαίνουν σε εκτίμηση της συχνότητας -συνεπώς και της πιθανότητας- συμβάντων του παρελθόντος.

Τα βήματα του μεθυσμένου – Πώς η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας. Leonard Mlodinow. Μετάφραση: Ανδρέας Μιχαηλίδης.  Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης


Το The Clown χρησιμοποιεί cookies για την καλύτερη παροχή των υπηρεσιών του. Με τη χρήση αυτού του ιστότοπου, αποδέχεστε τη χρήση των cookie.

Πατήστε "Συμφωνώ" για να μην εμφανίζεται αυτό το μήνυμα.