Πιθανότητα και σύμπτωση

23.06.2017
Πιθανότητα και σύμπτωση

Δεν είναι άξιο απορίας ότι, στη μακρά πορεία τον χρόνον, ενώ η Τύχη παίρνει το δρόμο της προς τη μια ή την άλλη κατεύθυνση, προκύπτον αυθόρμητα πολυάριθμες συμπτώσεις.Πλούταρχος

«Είσαι κι εσύ Αιγόκερως. Αυτό είναι συναρπαστικό».

Κάποιος που ταξιδεύει πολύ ανησυχούσε για την πιθανότητα να υπάρχει βόμβα στο αεροπλάνο του. Ερεύνησε την πιθανότητα ενός τέτοιου συμβάντος, τη βρήκε μικρή αλλά όχι αρκετά μικρή για να ησυχάσει, κι έτσι τώρα ταξιδεύει πάντα με μια βόμβα στη βαλίτσα του. Το επιχείρημά του είναι ότι η πιθανότητα να βρεθούν δύο βόμβες στο ίδιο αεροπλάνο είναι απειροελάχιστη.

Κάποια γενέθλια αντί για συγκεκριμένα γενέθλια

Ο Σίγκμουντ Φρόυντ είπε κάποτε ότι αυτό που λέμε σύμπτωση δεν υπάρχει. Ο Καρλ Γιουνγκ μίλησε για τα μυστήρια της συγχρονικότητας. Γενικά οι άνθρωποι φλυαρούν ακατάπαυστα για την ειρωνεία της τύχης σε τόσα πράγματα. Πάντως είτε τα ονομάσουμε συμπτώσεις είτε συγχρονικότητες είτε ειρωνείες της τύχης, αυτά τα συμβάντα είναι πολύ πιο συνηθισμένα απ’ ό,τι νομίζουν οι περισσότεροι.

Μερικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα: - «Α, και ο κουνιάδος μου φοίτησε σ’ αυτό το σχολείο, και ο γιος του φίλου μου κουρεύει το γρασίδι στον κήπο του γυμνασιάρχη, και η κόρη του γείτονά μου γνωρίζει ένα κορίτσι που ήταν κάποτε αρχικλακαδόρος για την ομάδα του σχολείου». - «Από το πρωί, που μου είπε ότι φοβάται επειδή αυτός ψαρεύει στη μεγάλη λίμνη, το θέμα των ψαριών έχει ήδη προκύψει πέντε φορές. Ψάρι για το γεύμα, το σχέδιο των ψαριών στο φόρεμα της Καρολίνας, ψάρια...» - «Ο Χριστόφορος Κολόμβος ανακάλυψε το Νέο Κόσμο το 1492 και ο συμπατριώτης του Ενρίκο Φέρμι ανακάλυψε τον νέο κόσμο του ατόμου το 1942». - «Είπες ότι εκείνος μόλις που σε πήρε, αλλά αργότερα είπες ότι εκείνη σε πέρασε με διαφορά στήθους. Είναι φανερό τι έχεις στο νου σου». - Ο λόγος του ύψους του κτιρίου Sears στο Σικάγο προς το ύψος του κτιρίου Woolworth στη Νέα Υόρκη είναι ίδιος μέχρι το τρίτο δεκαδικό ψηφίο (1,816 αντί για 1.816) με το λόγο της μάζας ενός πρωτόνιου προς τη μάζα ενός ηλεκτρόνιου. - Η συνθήκη Ρήγκαν-Γκορμπατσόφ για τους πυραύλους μέσου βεληνεκούς (INF) υπογράφηκε στις 8 Δεκεμβρίου του 1987, ακριβώς εφτά χρόνια μετά τη δολοφονία του Τζων Λένον.

Μια τάση σοβαρής υποτίμησης της συχνότητας των συμπτώσεων είναι βασικό χαρακτηριστικό των αριθμόφοβων, οι οποίοι αποδίδουν εν γένει μεγάλη σημασία σε κάθε λογής αντιστοιχίες ενώ δίνουν πολύ λίγη σημασία σε μάλλον αδιαμφισβήτητα αλλά λιγότερο χτυπητά στατιστικά στοιχεία. Εάν προβλέψουν τη σκέψη κάποιου άλλου, ή ονειρευτούν κάτι που φαίνεται να βγαίνει αληθινό, ή διαβάσουν π.χ. ότι η γραμματέας του προέδρου Κέννεντυ λεγόταν Λίνκολν ενώ η γραμματέας του προέδρου Λίνκολν λεγόταν Κέννεντυ, το θεωρούν αυτό απόδειξη μιας θαυμαστής αλλά μυστηριώδους αρμονίας, που με κάποιο τρόπο επικρατεί στον προσωπικό τους κόσμο. Λίγες εμπειρίες με αποθαρρύνουν τόσο όσο η συνάντηση με κάποιον που φαίνεται έξυπνος και ανοιχτός στον κόσμο αλλά ο οποίος με ρωτάει αμέσως για το ζώδιό μου κι έπειτα αρχίζει να επισημαίνει χαρακτηριστικά της προσωπικότητάς μου που αντιστοιχούν σ’ αυτό (όποιο ζώδιο κι αν του πω).

Η απροσδόκητη συχνότητα των συμπτώσεων απεικονίζεται στο ακόλουθο πολύ γνωστό αποτέλεσμα των πιθανοτήτων. Αφού ο χρόνος έχει 366 μέρες (αν συμπεριλάβουμε και την 29η Φεβρουάριου), θα έπρεπε να συγκεντρωθούν 367 άτομα, για να είμαστε απολύτως βέβαιοι ότι τουλάχιστον δύο άτομα σ’ αυτή την ομάδα έχουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα. Γιατί;

Τι θα γινόταν αν μας αρκούσε να είμαστε μόνο 50% βέβαιοι ότι θα συμβεί αυτό; Πόσα άτομα θα έπρεπε να έχει η ομάδα, ώστε να υπάρχει η μισή πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με τα ίδια γενέθλια; Μια πρώτη εικασία θα μπορούσε να είναι 183. Το μισό περίπου του 365. Η απροσδόκητη απάντηση είναι ότι χρειάζονται μόνο είκοσι τρία άτομα. Μ’ άλλα λόγια, τις μισές από τις φορές που θα συγκεντρωθούν είκοσι τρία τυχαία επιλεγμένα άτομα, δύο ή περισσότερα από αυτά θα έχουν τα ίδια γενέθλια.

Για τους αναγνώστες που αρνούνται να το πιστέψουν αυτό, να μια σύντομη απόδειξη. Σύμφωνα με την αρχή του πολλαπλασιασμού, ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να επιλεγούν πέντε ημερομηνίες (αν γίνουν δεκτές και οι επαναλήψεις) είναι 365 x 365 x 365 x 365 x 365. Απ’ όλους αυτούς τους 365s τρόπους, μόνο οι (365 X 364 X 363 X 362 x 361) δεν περιλαμβάνουν δύο όμοιες ημερομηνίες· οποιαδήποτε από τις 365 μέρες μπορεί να επιλεγεί πρώτη, οποιαδήποτε από τις υπόλοιπες 364 δεύτερη και ούτω καθεξής. Έτσι, αν διαιρέσουμε το τελευταίο αυτό γινόμενο (365 x 364 χ 363 x 362 χ 361) με το 3655, βρίσκουμε τι πιθανότητα υπάρχει να μην έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης πέντε τυχαία επιλεγμένα άτομα. Αν τώρα αφαιρέσουμε αυτή την πιθανότητα από το 1 (ή από το 100%, αν χρησιμοποιούμε ποσοστά), βρίσκουμε τη συμπληρωματική πιθανότητα να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης δύο τουλάχιστον από τα πέντε άτομα. Ένας παρόμοιος υπολογισμός με 23 άτομα αντί για 5 θα μας δώσει 1/2, ή 50% πιθανότητα να έχουν κοινά γενέθλια δύο τουλάχιστον από τα είκοσι τρία άτομα.

Πριν από δύο χρόνια περίπου, ένας προσκεκλημένος στο τηλεοπτικό πρόγραμμα του γνωστού παρουσιαστή Johnny Carson προσπαθούσε να εξηγήσει τα παραπάνω. Ο Johnny Carson δεν τον πίστεψε, παρατήρησε ότι το ακροατήριο που παρευρισκόταν στο στούντιο ήταν γύρω στα 120 άτομα και ρώτησε πόσοι από τους παρόντες είχαν τα ίδια γενέθλια με αυτόν, ας πούμε, στις 19 Μαρτίου. Η απάντηση ήταν κανένας, και ο προσκεκλημένος, που δεν ήταν μαθηματικός, είπε κάτι ακατανόητο για να δικαιολογηθεί. Αυτό που έπρεπε να είχε πει είναι ότι χρειάζονται είκοσι τρία άτομα για να είμαστε βέβαιοι κατά 50% πως υπάρχει κάποια κοινή ημερομηνία γέννησης, και όχι μία συγκεκριμένη ημερομηνία όπως η 19η Μαρτίου. Χρειάζεται ένας μεγάλος αριθμός ατόμων, 253 για την ακρίβεια, ώστε να είμαστε βέβαιοι κατά 50% ότι κάποιος ή κάποια στην ομάδα γεννήθηκε στις 19 Μαρτίου.

Μια σύντομη απόδειξη του τελευταίου: αφού η πιθανότητα να μην είναι τα γενέθλια κάποιου στις 19 Μαρτίου είναι 364/365 και επειδή οι ημερομηνίες γεννήσεων είναι ανεξάρτητες, η πιθανότητα δύο ατόμων να μην έχουν γενέθλια στις 19 Μαρτίου είναι 364/365 x 364/365. Έτσι, η πιθανότητα Ν ατόμων να μην έχουν γενέθλια στις 19 Μαρτίου είναι (364/365)Ν, που όταν το Ν = 253, είναι κατά προσέγγιση 1/2. Άρα η συμπληρωματική πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα από αυτά τα 253 άτομα έχει γεννηθεί στις 19 Μαρτίου είναι επίσης 1/2, ή 50%.

Το δίδαγμα είναι και πάλι ότι κάποιο απίθανο συμβάν είναι πιθανό να προκόψει, ενώ είναι πολύ λιγότερο πιθανό να προκόψει ένα συγκεκριμένο συμβάν. Ο Martin Gardner, ο συγγραφέας μαθηματικών βιβλίων, εξηγεί αυτή τη διάκριση μεταξύ γενικών και ειδικών συμβάντων μέσω μιας ρουλέτας που αντί για αριθμούς έχει τα είκοσι έξι γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου. Αν γυρίσουμε τη ρουλέτα εκατό φορές και καταγράψουμε τα γράμματα, η πιθανότητα να εμφανιστεί η λέξη CAT (γάτα) ή WARM (θερμός), είναι πολύ μικρή, αλλά η πιθανότητα να εμφανιστεί κάποια λέξη είναι μεγάλη. Μια και αναφέρθηκα στο θέμα της αστρολογίας, τα παραδείγματα του Gardner σχετικά με τα αρχικά των αγγλικών ονομάτων των μηνών και των πλανητών είναι πολύ κατάλληλα. Οι μήνες -JFMAM-JJASOND- μας δίνουν το όνομα JASON (Ιάσων) και οι πλανήτες -MVEMJSUND- τη λέξη SUN (ήλιος). Έχει σημασία; Καμιά...

Το παράδοξο συμπέρασμα είναι ότι θα ήταν πολύ απίθανο να μην προκύπτουν απίθανα συμβάντα. Αν δεν προσδιορίσετε με ακρίβεια ένα προβλεπόμενο συμβάν, υπάρχει ένας απροσδιόριστος αριθμός τρόπων με τους οποίους μπορεί να λάβει χώρα ένα συμβάν του γενικού αυτού τύπου.

Ο ιατρικός κομπογιαννιτισμός και ο τηλεοπτικός ευαγγελισμός θα συζητηθούν στο επόμενο κεφάλαιο, αλλά εδώ πρέπει να αναφερθεί ότι οι προβλέψεις τους είναι συνήθως αρκετά ασαφείς ώστε η πιθανότητα να προκόψει κάποιο από τα συμβάντα που προβλέφθηκαν είναι πολύ μεγάλη· οι συγκεκριμένες προβλέψεις είναι αυτές που σπάνια βγαίνουν αληθινές. Ότι κάποιος πολύ γνωστός πολιτικός θα υποβληθεί σε εγχείρηση αλλαγής φύλου, όπως προέβλεψε πρόσφατα ο αστρολόγος-πνευματιστής μιας εφημερίδας, είναι πολύ πιο πιθανό από το να συμβεί κάτι τέτοιο στο δήμαρχο της Νέας Υόρκης κ. Koch. Ότι κάποιος τηλεθεατής θα ανακουφιστεί από το στομαχόπονό του τη στιγμή ακριβώς που ένας τηλεοπτικός ευαγγελιστής αναφέρει τα σχετικά συμπτώματα είναι πολύ πιο πιθανό από το να συμβεί αυτό σε ένα συγκεκριμένο τηλεθεατή. Για τον ίδιο λόγο, ασφαλιστικά συμβόλαια με ευρεία κάλυψη που αποζημιώνουν οποιοδήποτε ατύχημα τείνουν να είναι φθηνότερα μακροπρόθεσμα από μια ασφάλιση για συγκεκριμένη ασθένεια ή συγκεκριμένο ταξίδι.

****

Από το βιβλίο "ΑΡΙΘΜΟΦΟΒΙΑ" του John Allen Paulos



  • Το The Clown χρησιμοποιεί cookies για την καλύτερη παροχή των υπηρεσιών του. Με τη χρήση αυτού του ιστότοπου, αποδέχεστε τη χρήση των cookie.

    Πατήστε "Συμφωνώ" για να μην εμφανίζεται αυτό το μήνυμα.